Aufgabe:

Bestimme alle Punkte oder Funktionen, die folgende Gleichung erfüllen:

$Im (z) = ∣ z+ \frac{1}{2} i ∣$

Lösungshinweise:

Ansatz a+ib
Ggf. Quadratische Ergänzung
Ggf. Definitionsbereiche und Wertebereichseinschränkungen

Lösung:

1	$Im (z) = ∣ z+ \frac{1}{2} i ∣$	Aufgabenstellung (Definitionsbereiche und Wertebereiche)
2	$Im (a+ib) = ∣ a+ib+ \frac{1}{2} i ∣$	Einsetzen des Ansatzes
	$Im (a+ib) =b$ $\begin{matrix} ∣ a + ib + \frac{1}{2} i ∣ & = & ∣ a + (b + \frac{1}{2}) i ∣ \\ = & \sqrt{a^{2} + {(b + \frac{1}{2})}^{2}} \end{matrix}$	Umformungszwischenschritte der rechten und linken Seite der Gleichung.
3	$b= \sqrt{a^{2} + {(b+ \frac{1}{2})}^{2}}$	Ein wichtiges Zwischenergebnis. (Definitionsbereiche und Wertebereiche)
	$b^{2} = {(\sqrt{a^{2} + {(b+ \frac{1}{2})}^{2}})}^{2}$	Quadrierung (ggf. kommen hierbei weitere Lösungen hinzu.)
	$b^{2} {=a}^{2} + {(b+ \frac{1}{2})}^{2}$
	$b^{2} {=a}^{2} {+b}^{2} + 2b \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}$ $b^{2} {=a}^{2} {+b}^{2} +b+ \frac{1}{4}$ $0 {=a}^{2} +b+ \frac{1}{4}$
4	$b= - a^{2} - \frac{1}{4}$	Parabel nach unten geöffnet, Scheitel bei (0; -0.25).

In dem Falle ergibt sich als Lösung eine nach unten geöffnete Parabel.

Wegen folgender Gleichung dürfen die y-Werte nur positiv sein:

$b= \sqrt{a^{2} + {(b+ \frac{1}{2})}^{2}}$

Insgesamt ergibt sich also als Lösung nur die leere Menge. Die zweite Lösung entsteht durch den Rechenschritt des Quadrierens. Daher immer prüfen, ob das Ergebnis auch gültig sein kann.