Aufgabe:

Bestimme alle Punkte oder Funktionen, die folgende Gleichung erfüllen:

2Imz=z+12

 

Lösungshinweise:

 

Lösung:

 

1

2Imz=z+12

Aufgabenstellung

(Definitionsbereiche und Wertebereiche)

2

2Ima+ib=a+ib+12   

Einsetzen des Ansatzes

 

  2Ima+ib= -b

  a+ib+12=(a+12)+ib=a+122+b2

Umformungszwischenschritte der rechten und linken Seite der Gleichung.

3

2b = a+122+b2

Ein wichtiges Zwischenergebnis.  (Definitionsbereiche und Wertebereiche)  

 

(2b)2=a+122+b22

Quadrierung (ggf. kommen hierbei weitere Lösungen hinzu.)

 

4b2=a+122+b2

 

 

0=a+1223b2

3b2=a+122

 

4

(±3b)2=±a+122

b=±13a+12

In dem Falle ergeben sich als Lösung zwei Geradengleichungen.

 

 

 

 

In dem Falle ergeben sich als Lösung zwei Geradengleichungen. Diese sind auf Ihre Gültigkeit zu überprüfen.  

 

Wegen folgender Gleichung dürfen die y-Werte nur positiv sein:

2b=a+122+b2

 

Also sind die Fallunterscheidungen für die verschiedenen Äste noch zu treffen und zu prüfen, ob diese auch Lösung der Gleichung sind.

 

b=13a+12   für   a12

 

b=13a+12   für   a12

 

Für a12 streben (oder sind) beide Lösungen nach b=0 . Somit sind die Funktionen stetig. Wegen der unterschiedlichen Steigungen sind diese an dem Punkt nicht differenzierbar.

 

 

 

 

wxmaxima:

 

wxplot2d([[parametric,a,1/sqrt(3)*(a+0.5),[a,-0.5,5]],[parametric,a,-1/sqrt(3)*(a+0.5),[a,-5,-0.5]]], [x,-5,5], [y,-4,4], [nticks,20])$

 

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